http://mirror.enha.kr/wiki/%EB%B6%88%EC%99%84%EC%A0%84%EC%84%B1%20%EC%A0%95%EB%A6%AC

여기서 그나마 좀 알아듣게 설명이 되어있습니다 ㅎ

참고하세요 ~

간단히 설명하자면, '어떤 논리계에서도 참과 거짓을 판별할 수 없는 명제가 존재한다'는 것입니다.

가장 좋은 보기가 유클리드기하학에서의 평행선의 명제인데요, 평행선의 명제는 다음과 같습니다.

직선 밖의 한 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선은 단 하나만 존재한다.

이 평행선의 명제는 다른 공리(점은 부분이 없다. 선은 넓이가 없다. ...)에 비해 복잡한 모습을 하고 있습니다. 그러므로 원래 이 평행선의 명제는 다른 공리들에 의해 증명되어 공리가 아닌 '정리'로서 존재해야 하는 것이죠.

그러나 2000년에 걸쳐 많은 수학자들이 이 평행선의 명제를 증명하기 위해 애를 써왔지만 결국 실패를 하고 말았습니다. 결국 유클리드가 했던 것처럼 이 명제는 (증명이 필요없는) 공리로서 존재해 왔습니다. 말하자면 유클리드 기하학에서의 구멍(참과 거짓을 판별할 수 없는 명제)은 이 '평행선의 명제'였던 것이죠.

이 평행선의 명제는 참임을 증명할 수가 없기에, 직선 밖의 한 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선은 존재하지 않는다, 또는 직선 밖의 한 점을 지나고 그 직선과 만나지 않는 직선은 무수히 많이 존재한다는 명제 역시 거짓임을 증명할 수 없습니다. 실제로 이런 가정 하에 탄생한 기하학이 비유클리드기하학이죠.

비유클리드기하학은 유클리드기하학의 구멍(?)을 막기 위한 새로운 기하학이라 할 수 있습니다. 그래서 유클리드기하학에서는 증명 불가능했던 평행선의 공리 역시 비유클리드기하학에서는 너무나 쉽게 증명됩니다.

물론 비유클리드기하학에도 구멍(참과 거짓을 판별할 수 없는 명제)이 존재하며, 그 구멍은 비비유클리드기하학에 의해 메워질 수 있습니다. 그러나 비비유클리드기하학에도 구멍이 존재하며 그 구멍은 비^3유클리드기하학에 의해 메워질 수 있습니다. 그러나 비^3유클리드기하학에도 구멍이 존재하며 그 구멍은 비^4유클리드기하학에 의해 메워질 수 있습니다. 그러나 비^4유클리드기하학에도 구멍이 존재하며 그 구멍은 비^5유클리드기하학에 의해 메워질 수 있습니다. 그러나 비^.......

결국 많은 수학자들이 꿈꾸던 엄밀하면서도 완벽한 수학은 없다는 것이 증명된 것이죠.

Since, 1 + 1 = 2 (참)

Therefore, 1 + 1 ≠ 1 (참).

수학적 논리가 이렇게 세워졌고

이런 논리를 바탕으로 수학공식이 만들어졌는데

만일 1 + 1 = 1 이 입증 된다면?

1 + 1 = 2 는 참 아니면 거짓

1 + 1 ≠ 1 은 거짓이 됩니다.

(큰일입니다)

독립적인 테스트를 해봅니다.

질문: 1 + 1 = 1이 참 이라 입증 할수 있는가?

답: 못합니다.

그렇다면

질문: 1 + 1 = 1은 거짓이라 입증 할수 있는가?

답: 못합니다.

1 + 1 = 1 은 참 도 거짓도 입증할수가 없습니다.

(그러나 ‘1 + 1 ≠ 1 은 참’ 명제가 되기 위해서는 ‘1 + 1 = 1 은 거짓’ 을 증명 해야만합니다.)

그러므로 '1 + 1 ≠ 1' 은 참 도 아니고 거짓도 아닙니다.

-괴델의 불완전성 이론

10%정도만 맞지만 그래도 가장 알기쉬운 예를 들어보면 저처럼 영어 못하는 사람이 영영사전 찾는 상황을 생각해 보시면 될 겁니다. 단어 하나 찾기 위해 사전의 모든 페이지를 뒤진 끝에 도달한 곳은 처음 찾으려던 단어가 되는 상황이랄까요. 결국 그 단어를 이해하기 위해서는 영한 사전을 봐야만 하는 거죠. (대충 이 정도만 이해하셔도 사실 큰 무리는 없습니다.)

두 번째는 조금 복잡하지만 보다 진실에 가까운 예입니다.

세상에 두 종류의 명제가 있다고 가정해 봅니다. 편의상 그냥 1명제, 2명제라고 하겠습니다.

1명제: 동그라미는 동그랗다 -> 이건 그냥 단어의 뜻, 혹은 개념만 알면 뻥인지 진짜인지 알 수 있는 명제입니다.

2명제: 서울은 덥다 -> 이건 사실 관계 확인을 하므로써 뻥인지 진짜인지 알 수 있는 명제죠.

문제는 '1명제도 아니고 2명제도 아닌 어떤 명제가 있다'는 명제는 1명제인지 2명제인지 판별이 불가능 하다는 겁니다.

마지막은 메트릭스의 빨간약, 파란약 혹은 호접지몽입니다. 

설명하면, 첫째 예에서 든 건 '메타'라는 개념입니다. 그게 정의건 명제건 그게 체계를 이루기 위해선 '관찰되는 입장'이 되어야 하는데 그때 관찰자를그걸 메타**라는 식으로 표현합니다. 가령 예시에서는 한국어가 영어를 설명하기 위한 메타 언어가 된 거죠.

두 번째 예시는, 실제로는 1명제는 분석명제, 2명제는 종합명제라고 해서 논리학에 실제로 있는 개념이죠. 그리고 두 명제 정의 체계가 갖는 문제 역시 실제로 있습니다. 칸트 철학과 분석철학의 몰락(?)을 불러온 부분이죠.

마지막은 사실 인식론에서 수백년 전부터 다루던 것이죠. (생물학 적으로도 인간의 뇌는 꿈과 현실을 구분할 줄 모릅니다.)

이 모두가 논리적으로 들어가게 되면 괴델의 정리로 귀착됩니다. 어떤 체계건 자가당착오류에 귀결하는 요소가 적어도 하나 있으며, 체계 내부에서는 그걸 검증할 방법이 없다는 거죠.

사실 이 정리가 다루는 내용 자체는 사실 그리스 형이상학 시대부터조차 있어왔고 많은 철학자와 수학자들도 알고는 있었죠. 불완전성 정리의 큰 의미 중 하나는 놀랍게도 수천년동안 아무도 하고 싶어하지 않던 증명을 괴델이 만천하에 까발렸다는 겁니다. 

괴델이 매우 뛰어난 사람임에는 틀림 없지만 만약 그 이전에라도 누군가가 하려고만 했다면 진작 나왔을 증명인 것이죠.

석아찬님의 댓글 마지막 부분은 제가 알았던 상식과는 다르군요.

대단한 수학자였던 힐베르트가 20세기에 풀어야 할 23가지 문제로 제출 했던 문제 중의 하나였다고 알고 있고, 힐베르트는 수학의 무모순성이 증명될거라 믿고 있었던 걸로 알고 있습니다.