오늘의 개인적으로 전혀 잘 알지 못하지만 이야기는 많이 되는 주제에 대해 남이 만든 자료를 인용해대며 괜히 아는 척 하고 싶어하는 글입니다.

 http://imgur.com/user/NineDimensionalBeing

참고로 본문은 대부분 이분의 글을 갖다 베꼈습니다. 저도 사실은 잘 몰라요. 그냥 신기한 그림들 많아서 퍼왔습니다.

 --------

 차원의 개념은 다들 잘 아시겠지만 기본부터 시작해 봅시다. 수학적인 차원은 물체가 어느 방향으로 움직일 수 있는가로 간단히 표현될 수 있습니다.

 0차원은 점이죠. 그 안에 갇혀서 아무데도 못 갑니다.

 1차원은 선입니다. 앞뒤, 좌우, 상하, 남북, 동서, 아무튼 한 축 위의 두 방향으로 갈 수 있으며, 이 선 위에 올라온 물체의 위치는 하나의 숫자만 있으면 정확히 표현할 수 있습니다. 간단히 말하자면 상하 기준으로 따졌을 때 이 산의 높이는 880미터라고 할 수 있는 것처럼 말이죠.
 
 2차원은 면이죠. 앞뒤좌우, 상하좌우, 앞뒤상하, 1차원의 선 2개가 서로 수직으로 교차하면서 만들어내는 평면입니다. 면 위에서 움직이는 물체는 위도와 경도처럼 두 가지 수치로 표현 가능합니다.

 3차원은 입체죠. 앞뒤좌우상하가 됩니다. 2차원의 면 2개가 수직으로 교차하면서 만들어낼 수 있습니다. 이제 이 안에서 움직이는 물체의 위치는 세 가지 숫자만 있으면 표현 가능합니다. 동쪽으로 얼마, 남쪽으로 얼마, 높이는 얼마죠.

 4차원은 네 가지 숫자가 있어야지만 물체의 위치를 정확히 표현 가능한 공간입니다. 앞뒤좌우상하에 이어서 하나의 축, 방향이 새로 생깁니다. 흔히 시간축이라고 생각하는 사람들이 종종 뵈지만 물론 그렇지는 않고, 3차원의 도형을 기준으로 하자면 앞뒤축과 좌우축과 상하축이 서로에게 모두 수직이듯이 4차원에서 추가되는 새로운 방향 역시 이 앞선 세 축에게 모두 동시에 수직이어야만 합니다. 물론 이건 3차원이 한계인 우리 머리로는 제대로 인식하는 게 거의 불가능하고, 4차원적으로 존재하는 형태는 수학적으로 표현되던가, 아니면 3차원적인 단면으로밖에 볼 수 없습니다.

 4차원적인 형태 중에 가장 이해하기 쉬운 편에 드는 것이 우리에게 친숙한 정육면체를 기반으로 하는 그 유명한 4차원 하이퍼큐브, 테서렉트죠. 오른쪽의 정육면체(큐브)가 2차원의 정사각형을 서로 수직이 되게 6개 붙인 것이듯, 왼쪽의 테서렉트는 서로 수직이 되게 정육면체를 8개 붙인 것으로 볼 수 있습니다. 혹은 1차원적인 선을 2차원적인 방향으로 잡아당기면 2차원적인 정사각형이 되고 2차원적인 정사각형을 3차원적인 방향으로 잡아당기면 정육면체가 되듯이, 정육면체를 4차원적인 방향으로 잡아당긴 것이라고도 볼 수 있죠.

 흔히 테서렉트는 위와 같은 형태로 표현되지만, 그것은 4차원적으로 생긴 물체를 3차원 공간에서 본 모습을 2차원의 컴퓨터 스크린에 투영한 것이고 정확히 따지자면 정육면체나 정사각형이 그렇듯 각 꼭지점에서 만나는 선분들은 모두 수직이어야 합니다. 대체 그게 말이 되나요 그게.

 물론 엄밀히 따지면 이 3차원적으로 생긴 큐브 역시 2차원적인 그림으로 보고 있으면 각 꼭지점에서 만나는 게 수직이라는 게 얼핏 납득이 안 되기는 하죠. 단지 우리가 3차원적인 구조물에 익숙해져 있어서 바로 인식이 가능한 것 뿐입니다. 사실 더 엄밀히 말하자면 3차원적인 공간을 볼 때도 우리 눈의 망막에 맺히는 이미지는 2차원에 불과하지만, 우리 뇌가 적절히 처리를 해주는 것이고요.

 아무튼 그렇다 치고 넘어가서, 보시다시피 3차원적으로 생긴 정육면체, 큐브는 2차원의 면에 다양한 각도로 통과시키면서 그 잘린 형태를 볼 수 있습니다.

 이 2차원 단면은 3차원 큐브를 어느 방향으로 통과시키기 시작하느냐에 따라 각기 다른 모양이 되죠. Square first, 한쪽 사각형 면부터 통과시키기 시작했을 때와 Line first, 한쪽 모서리가 맞닿는 부분 기준일 때, 그리고 한쪽 모서리 꼭짓점 기준으로 하는 Corner first 다 다른 형태가 됩니다만 아마 이해하시긴 어렵지 않을 것입니다. 이 논리를 그대로 적용하면 4차원 입방체의 3차원적인 단면 역시 볼 수 있습니다.

 테서렉트 한편에 붙은 3차원적인 큐브를 먼저 우리의 3차원 공간에 먼저 맞닿도록 통과시키는 경우입니다. 한쪽 끝에 붙인 큐브가 먼저 보이고, 그 다음에 내부의 4차원적으로 빈 공간이 내부가 빈 3차원 큐브의 형태로 보이며, 다시 반대편에 붙은 큐브가 보이게 됩니다. 큐브를 square first로 2차원에 통과시켰을 때 한쪽 면이 보이고, 내부의 3차원적으로 빈 공간이 내부가 빈 2차원 사각형의 형태로 보이다 다시 반대쪽 면이 보이는 것과 동일하며, 단지 한 차원이 더 올라갔을 뿐입니다.

 
 이거는 테서렉트의 한쪽에 붙은 큐브의 2차원적인 한쪽 정사각형 면을 먼저 통과시켰을 경우입니다. 앞서 Line first로 큐브를 통과시켰을 때 1차원적인 직선에서 시작해서 2차원적인 사각형으로 늘어났다 다시 직선으로 줄어드는 것을 본 경우처럼, 테서렉트에서는 2차원적인 사각형으로 시작해서 3차원적인 큐브로 늘어났다가 양 끝의 큐브에 닿으며 잠시 위아래가 닫힌 후 줄어들어 다시 사각형으로 돌아가게 됩니다.

 테서렉트의 1차원적인 한쪽 선부터 통과시켰을 경우입니다. 골치 아프긴 하지만 위의 큐브의 corner first와 비교해보시면 삼각형이 삼각기둥으로, 육각형이 육각기둥으로 그 2차원적인 형태를 3차원적으로 늘렸을 뿐 여전히 동일하다는 걸 아실 수 있을 겁니다.

 이제 좀 골치아파집니다. 마지막으로 테서렉트의 0차원적인 뾰족한 점 부분부터 통과시켰을 경우입니다. 앞서 말했듯이 큐브를 모서리 부분에서 통과시키면 그 단면은 삼각형에서 육각형이 되고 다시 삼각형이 되는데, 여기서는 삼각형이 모여서 생기는 삼각뿔과 팔면체 사이에서 변화하게 된다고 합니다.

 으으으....이게 뭔 소리일까요.

  비슷하지만 좀 더 다른 경우를 봅시다. 3차원적인 구를 4 x 4 x 4 배열로 64개 모아 3차원적인 큐브의 형태를 띄도록 배치합니다. 오른쪽 영상은 이것을 2차원적인 평면에 통과시켰을 때의 단면입니다. 각기 이 형태의 면, 모서리, 꼭지점부터 통과시키기 시작했을 경우죠.

 더 나아가 256개짜리 4 x 4 x 4 x 4 배열의 4차원적인 테서렉트의 형태로 배열된 4차원적인 하이퍼스피어(Hypersphere, 초구)를 3차원적인 공간에 통과시키는 경우입니다. 2차원적인 평면에 3차원적인 구체를 통과시키면 2차원적인 원이 커졌다가 줄어들게 되므로, 4차원적인 하이퍼스피어를 3차원적인 공간에 통과시키면 3차원적인 구가 커졌다가 줄어드는 모습이 됩니다. 따라서 3차원적인 관점에서는 허공에서 일정한 형태로 배열된 구들이 생겨났다 사라지게 되는데, 이 역시 테서렉트의 경우와 마찬가지로 큐브, 면, 모서리, 꼭지점부터 통과시키는 경우죠.

아까 보신 테서렉트의 경우와 유사하다는 걸 느끼실 수 있으실 겁니다. 다만, 여기서 등장하는 256개의 하이퍼스피어로 이루어진 형태는 12차원 도넛(토러스, Torus)를 4차원적으로 잘랐을 때 나오는 형태라고 하네요. 위 영상은 그걸 다시 3차원적으로 자른 것이죠.

 으으으...물론 4차원적인 형태가 어디 한둘인가요, 3차원적인 형태를 4차원적인 방향으로 잘 붙이기만 하면 되니까 무한대로 많죠. 그걸 더 붙이면 5차원, 6차원으로 계속 수학적으로 기어올라갈 수 있고...

 다들 아시다시피 2차원적인 평면 띠를 3차원적으로 꼬아 붙여서 만드는 뫼비우스의 띠에서, 양쪽 가장자리를 늘려서 4차원적으로 붙여 만드는 클라인의 병입니다. 출구와 입구가 같고 안과 밖의 구별이 없게 되죠. 그림으로 표현하자면 뚫고 들어가는 부분이 생기지만, 실제로는 그렇지 않죠.

 게다가 4차원적인 물체를 상상하는 것도 골치아픈데, 그게 회전하는 모습을 상상한다고 하면 더욱 골치아파집니다. 왼쪽 아래에는 8개의 삼각뿔들을 4차원적으로 붙이면 나오는 Hexadecachoron이, 오른쪽 아래에는 여태껏 열심히 봐온, 8개의 큐브를 4차원적으로 붙이면 나오는 테서렉트가 열심히 돌고 있습니다.

 참고로 둘 다 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가로지르는 평면을 중심으로 돌고 있는 중입니다. 얼핏 보기에는 그냥 막 뒤집어지고 있는 중 같겠지만, 가장자리 위주로 잘 보시면 뭔가를 중심으로 돌고 있다는 느낌도 드실 겁니다. 아니면 아래 창에서 방향키와 WASD로 직접 돌려 보실 수도 있고요.

...결론은 위상수학자들은 인간이 아니라는 거겠네요.