무엇이든 물어보세요. (묻고 답하고)
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루리웹 힛게에서 본겁니다만..
내용은 이렇습니다.
당신앞에 문이 세개 있습니다.
그 중 문 2개 뒤에는 염소가 있고, 1개 문 뒤엔 고급차가 있습니다.
당신은 문 하나를 고릅니다.
사회자는 이미 어느 문이 당첨문인지 알고 있으며, 당신이 고르지 않은 꽝인 문 하나를 열어서 확인 시켜주면서 정말 그 문을 고르겠냐고 물어봅니다.
그럼 여전히 그 선택을 고수하고 있는것이 유리할까요, 아니면 자신의 선택을 번복하는 것이 유리할까요?
이게 교수의 질문이었고, 학생의 대답은
선택을 번복하는것이 유리하다고 대답했습니다.
각 문은 1/3의 당첨확률을 가지고 있습니다.
그 확률은 사회자가 다른 문을 열어서 확인 시켜주어도 불변하는 것입니다.
그러나 문 하나가 줄었기 때문에 당신이 고른 문은 그대로 1/3이지만, 다른문은 1-1/3이어서, 맞을 확률이 2/3으로 올라간다는 것이었지요.
댓글에서도 도대체 뭔 소린지 모르겠다고 하는 사람과 이걸 해석해주는 사람이 있었는데,
지금도 전 대충만 알고 완벽히 알고 있진 않습니다.
제가 친구한테 이 이야기를 해주니까 뭔 헛소리를 하냐면서 치우라 했고, 그럼 증명해줄까? 하면서 종이 3개를 가지고 실험을 해봤거든요.
그제서야 경우의 수가 '바꿨을 경우 2/3, 안바꿨을 경우 1/3'이 된다는걸 알겠더군요. 그 친구는 '이걸 그렇게 설명하면 안되지.' 하면서 또 경우의 수로 설명해야 맞다고 하고.
제가 이해한건 자신이 고른 문은 1/3의 당첨 확률을 가지고 있으며, 다른 꽝인 문을 열어도 복권에서 당첨번호 미리 알았다고 해서 자신의 당첨 확률이 변하지 않는 것 처럼, 1/3의 확률은 그대로 라는 것입니다. 그러나 선택의 수는 줄었으므로 그 1/3이 제가 선택하지 않은 문으로 얹어 졌다는 것이지요.
다른 면에서 보면 제가 선택한 문은 1/3의 당첨확률을 가졌습니다. 다른 문이 당첨일 확률은 2/3의 당첨확률을 가지고 있지요. 그런데 다른 문 하나를 확인지켜줌으로서, 남은 문 하나가 2/3일 확률을 온전히 다 가지게 되었습니다. 이게 제가 이해한 것입니다.
그러면 모르겠는건, 이 상황에서 자신이 선택하지 않은 사항의 확률이란건 보호받지 못하나요?
그러니까, 세개의 문이 각각 1/3의 확률을 가지고 있습니다. 하지만 사회자가 다른 문 하나를 열어줌으로서 선택가짓수는 줄었습니다. 그런데 그것이 왜 자신이 선택하지 않은 문의 확률로 넘어오는지는 설명을 못하겠습니다. 분명히 당사자가 고른 문은 1/3입니다. 하지만 제가 선택하지 않고, 확인되지 않은 문도 여전히 1/3로 남아있어야 할것 같은데 그러지 못했지요. 이 경우는 왜 1/3으로 계속 보호받지 않고, 확인된 문의 확률까지 받아서 2/3이 되는건지, 설명을 못하겠어요.
Hominis Possunt Historiam Condonare, Sed Deus Non Vult
음.. 제가 설명이 서툰것 같은데... 보호란 말을 고정이란 뜻으로 썼는데...
조금 뉘앙스가 다르긴 하지만, 제가 선택한 사항은 고정이며, 선택하지 않은 사항은 비고정인것이 맞는지..
그러니까 제 말은... 제가 선택한 사항에 대해서 당첨확률 1/3과 비당첨 확률2/3이라는 확률이 정해지며 고정되는데 비해, 왜 비선택 다른 사항에 대해서는 똑같이 적용되는것이 아닌것인지에 대한 질문이었습니다...
음... 그러니까, 한사람이 하나를 선택하면 1/3이 되고, 그 값으로 고정(위에서 선택한 단어는 '보호')이 되며, 비선택사항은 잠재적으로 1/3이 되었을 뻔 한것일뿐, 실제적으로는 얼마든지 변동이 가능것이 맞는 개념인지 확인받고 싶은겁니다. 비선택적 사항이 원래 잠재적으로 가지고 있던 1/3은 선택받지 못했을때는 변동가능한며, 선택사항에 대한 확률 1/3은 '선택받았기 때문에' 고정이 맞는건지요.
음... 혹시나 해서 덧붙이자면 왜 결과가 그렇게 나오는지에 대한 질문이 아닙니다. A라는 실험에 대해 결과를 예측하는 B라는 계산과 C라는 계산이 있는데, 결과값과 예상값이 같은 B계산법에 대해서는 이해 합니다만, C계산법의 어디가 틀린것인지 묻는것입니다.
최초의 선택은 그 확률이 1/3일 때 한 선택이니까요. 3개 중에 1개가 당첨. 사지선다 문제를 찍은 뒤 나중에 점수 매길 때 오답과 정답이 뭔지 본다고 해서 사지선다의 확률이 1/4이 아닐 수는 없는 겁니다. 다만 사지선다의 답을 고민하고 있는데 선생님이 답안지를 훑어보고 개중 어떤 게 정답이 아니라고 가르쳐줬을 때는 1/4보다 높은 확률일 수 있겠죠. 몬티홀 문제에서는 전자에서 후자로 상황이 바뀌는 거고요.
다시 말해서 사회자가 개입해서 전제 자체를 바꿔버린 겁니다. 사회자가 문 하나를 열어 오답을 알려준 것은, 어떤 것이 정답이 아닌가를 알려줌으로 해서 각기 1/3의 확률을 갖는 두 문을 하나로 합쳐버린 것과 마찬가지죠. 두 문 중 하나에 정답이 있었다면, 이제는 남은 하나에 정답이 있게 되는 거니까요. 그래서 바꿀 경우의 당첨 확률이 2/3이 되는 겁니다.
전에도 한번 논의되었던 문제 같은데요, 이렇게 생각해 보면 이해하기 쉬울 것 같습니다.
1. 최초에 고급차를 골랐을 경우(1/3)
가. 바꾼다면 꽝
나. 바꾸지 않는다면 당첨
2. 최초에 염소를 골랐을 경우(2/3)
가. 바꾼다면 당첨
나. 바꾸지 않는다면 꽝
그러므로 '바꿔서 당첨될 확률'은 곧 '처음에 염소를 고를 확률', 즉 2/3이 됩니다.
그러니까, 이해를 못한게 아니라니까요(...)
그 방법 외에 다른방법으로 설명할때 어디가 잘못되었는지 물어오면 대답할 수 없어서 질문한겁니다..
특히 그 친구가 말한 '경우의 수 외의 방법으로 설명을 하면 안된다.' 라고 했을 때 제가 이걸 받아치지 못했어요. 아닌게 확실한데 말이지요. 그래서 물어본겁니다.
당첨확률 1/3, 그리고 나머지 두 분이 당첨일 확률은 2/3, 여기서 선택지 하나가 사라졌으니 나머지 하나가 2/3이 된다는건 그로부터 시간이 좀 지난 다음에 '이렇게 말해볼걸'이라는 생각이 들면서 든 생각인데, 그 친구는 원래 설명인 '1/3 확률을 각각 나눠가지며, 남은 한 문이 확인된 문의 확률을 넘겨받는다.' 라는 설명을 안 믿을테니 그 관점에서 설명할때의 근거를 물었던 겁니다.
그친구는 왜 확인된 문이 가지고 있던 1/3의 확률을 남은 두 문이 똑같이 넘겨받는게 아니라, 왜 선택되지 않은 문만 확률을 넘겨받느냐라고 물었고 제가 대답을 못했습니다.
그래서 이 문제의 중점인 '1/3일때 선택한 답은 끝날때 까지 그 확률이 고정인데 비해, 왜 비선택된 답은 고정이 아니느냐.'에 대해 질문한겁니다.
그래서 제가 추측으로 '1/3의 확률은 선택자가 고른 시점에서 그 것만 보장이 되며, 비선택된 다른 문 두개는 (2/3의 확률로만 싸잡아서 각 선택 갯수로 나누어져서 확률이 주어지기때문에) 고정되지 않는다. 각 문이 가지고 있던 1/3의 확률은 선택된 문처럼 고정된 확률을 가질 '뻔' 했던것일 뿐이며, 선택되지 않았기에 얼마든지 확률이 변한다.' 라고 가정을 했고, 이게 맞는지 묻는게 본 내용이었습니다.
폭주_고양이
유명한 몬티홀 문제군요. 구글에 치면 많이 나올 겁니다만...확률이 변화하는 것은 사회자가 정답을 알고 있고 개입해서 오답 하나를 없애주기 때문입니다. 물론 경우의 수로 따져보면 답이 나옵니다만 좀더 직관적으로 가고 싶다면 문이 1만개고 개중 하나를 무작위로 고른 뒤, 사회자가 오답을 피해 문 9998개를 연뒤 다른 문 하나만 남겨두었을 때도 그 다른 문으로 바꾸지 않는 게 유리할까를 생각해보면 됩니다.