출처 :

http://navercast.naver.com/contents.nhn?contents_id=68

 

 

 

글의 내용을 요약해보자면 다음과 같습니다 :

 

 

 

1) 찰흙 두 덩이를 합치면 한 덩이이다. 그런데 왜 1+1=2라는 것인가?

 

 

이 경우 '찰흙 한 덩이'의 개념이 애매모호하다.

 

합치기 전의 '찰흙 한 덩이'와 합치고 난 후의 '찰흙 한 덩이'는 분명히 다르다(무게, 부피, 혹은 모양에서).

 

여기서 '한 덩이'라는 단위는 사람마다 그 뜻이 달라지는 애매모호한 단위이므로,

 

좀 더 객관적인 단위를 사용했다면 이런 실수를 막을 수 있을 것이다.

 

 

 

2) 페아노 공리계를 통한 1+1=2의 증명

 

 

참고로 1+1=2에 대한 최초의 증명은 버트란드 러셀과 알프레드 화이트헤드란 수학자가 공동저술한 '수학 원리(Principia Mathematica)에

 

등장하며, 그 원본의 내용은 다음과 같다.

 

2.jpg

(일설에 의하면, 수학 원리를 독파한 사람은 이 책을 쓴 저자 2명과 수학자 쿠르트 괴델, 딱 3명밖에 없다고 한다...믿거나 말거나 -_-)

 

 

 

이제 페아노 공리계가 무엇인지 알아보자.

 

해당 공리계는 총 다섯 개의 공리들로 이루어져 있다 :

 

 

가) 1은 자연수이다

 

나) n이 자연수이면, 그 다음의 숫자도 자연수이다

 

다) n의 다음 수가 1이 되는 자연수 n은 없다

 

라) m과 n이 서로 다른 숫자라면 m의 다음 수와 n의 다음 수도 서로 다르다

 

마) 1이 P 집합에 포함되고, 또 P에 포함된 모든 숫자 n에 대해 그 다음 숫자들도 모두 P에 포함된다면, P는 자연수 집합을 포함한다.

 

 

페아노 공리계가 자연스러운 것은, 사실 사람이 자연수를 배우는 방법인 '손가락을 꼽는 방법'을 그대로 기술하기 때문이다.

 

 

누구나 처음 숫자를 배울 때는 손가락을 꼽는데, 인간은 이유도 모른 채 그냥 손가락을 하나 꼽으면서 이를 1이라고 부른다.

 

"1은 자연수이다"라는 명제는 이에 대한 수학적 표현이라고 할 수 있다.

 

 

또한, 인간은 손가락을 더 꼽으면서 1 다음은 2, 2 다음은 3, 3 다음은 4...이런 방식으로 모든 자연수를 배우게 된다.

 

"n이 자연수일 경우 n의 다음 수도 자연수이다"라는 명제는 이에 대한 수학적 표현이라고 할 수 있다.

 

n의 다음 수를 n'으로 쓰기로 한다면 1'=2, 2'=3, 3'=4,...라고 쓸 수 있다.

 

한편 1에 대해서는 "n의 다음 수(즉 n')가 1이 되는 그런 자연수 n은 없다"가 성립한다.

 

 

종종 아이들은 숫자를 세는 과정에서 1, 2, 3, 5...와 같이 숫자를 한 두 개쯤 건너뛸 때가 있다.

 

자연수의 개념을 잘 아는 사람이라면 3 다음은 5가 아니라는 것도 알 것이다.

 

즉, 3의 다음 수는 4의 다음 수와 다른 것이다.

 

이를 더 일반적으로 표현하자면 "m과 n이 서로 다른 숫자일 경우, 그 다음 숫자 m'과 n'도 서로 다르다"가 된다.

 

 

수학적 귀납법의 원리에 따라, 위의 네 가지 성질을 가지는 가장 최소한의 것이 바로 자연수라는 사실을 증명할 수 있다.

 

이것을 식으로 표현하자면 다음과 같다.

 

"만약 1이 어떤 집합 P에 포함되고, P에 포함된 모든 숫자 n에 대해 그 다음 숫자 n'도 P에 포함된다면, 집합 P는 자연수 집합을 포함한다"

 

 

위의 다섯 공리를 사용하여 자연수를 정의한 것을 '페아노의 공리계"라고 한다.

 

(참고로 자연수를 0부터 시작하는 경우도 있으나, 본 글에서는 원래대로 1부터 시작했음을 밝혀둔다)

 

 

 

3) 페아노 공리계를 통한 덧셈의 정의

 

 

이제 자연수 집합에서 덧셈 a+b를 정의하여 보자.

 

산수를 배우는 아이들은, 이미 있는 돌멩이 다섯 개에 한 개를 더 놓을 경우 굳이 처음부터 다시 세지 않고도

 

다섯의 다음 수가 여섯임을 떠올리고 돌멩이가 총 여섯 개라는 사실을 쉽게 알아채는 단계에 이르게 된다.

 

즉 "어떤 임의의 자연수에 하나를 더하면 그 다음 수"라는 얘기인데, 이를 식으로 쓰면 다음과 같다.

 

6.jpg

 

 

만약 위의 공식에서 m을 1로 한다면 1+1=1'가 된다.

 

그런데 1'을 2라고 부르기로 하였으므로, 따라서 1+1은 2가 된다.

 

다시 말해서, 어떤 수에 1을 더하면 그 다음 수가 되는데, 1의 다음 수는 2이므로, 1에 1을 더하면 곧 2가 된다는 것이다.

 

 

원하는 1+1=2는 증명되었으나 아직 부족한 점이 많다.

 

어떤 자연수에 1을 더하는 방법은 가르쳐 주지만 2나 3등을 더하는 방법을 가르쳐 주지는 않기 때문이다.

 

그러므로 아직은 3+4=7을 증명할 수는 없다.

 

 

다시 돌멩이의 비유를 들어보자.

 

아직 덧셈을 모르는 아이한테, 돌멩이 세 개가 있는 곳에 돌멩이 네 개를 놓으면서 총 갯수를 물어보면 곧바로 대답하기 어려워한다.

 

하지만 돌멩이 네 개를 놓을 때 하나씩 천천히 차례대로 놓으면 얘기가 달라진다.

 

돌멩이가 세 개 있을 때 하나를 더 놓으면 네 개가 되고, 하나 더 놓으면 다섯 개가 되고,...

 

그렇게 한 개씩을 더 놓을 때마다 총 개수가 전보다 하나 더 많아진다는 것을 알 수 있다.

 

이는 다음과 같은 공식으로 쓸 수 있다.

 

7.jpg

 

 

위의 두 가지 성질만 알면 자연수를 덧셈하는데에는 지장이 없다.

 

 

...

 

 

흠, 뭔가 심오한 증명 과정이 있을 줄 알았는데 이렇게 끝나버리다니, 왠지 허탈한 느낌이 드는군요.

 

뭐, 이것도 수학이 지닌 하나의 매력이 아닐까...라는 생각이 듭니다( -_-)a

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